고3 수학, 과목별 학습 전략 심층 분석

[출제 의도]

이 문항은 함수의 연속성 개념을 정확히 이해하고, 미정계수를 결정하는 능력을 평가하고자 합니다. 특히, 약분 가능한 형태의 극한값을 계산하는 능력이 중요합니다.

[자료 분석]

제시된 함수 $f(x)$는 $x \neq 1$일 때 유리함수 형태이고, $x = 1$일 때 상수 $a$ 값을 가집니다. 함수가 $x=1$에서 연속이 되려면 $x=1$에서의 함숫값과 극한값이 같아야 합니다.

[정답 해설]

함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 다음 조건이 만족되어야 합니다:

• $f(1)$이 정의되어야 한다. (문제에서 $f(1) = a$로 정의됨)
• $\lim_{x \to 1} f(x)$가 존재해야 한다.
• $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$이어야 한다.

$\lim_{x \to 1} f(x)$를 계산하면:

따라서 $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$입니다. 함수가 $x=1$에서 연속이려면 $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$여야 하므로, $a = 2$입니다.

⑤ (선택지 3)이 정답입니다.

[오답 풀이]

• ① (선택지 1) $x=1$을 분모에 대입하여 0/0 형태가 되므로 극한값이 0이라고 오해할 수 있습니다. 이는 부정형 극한 계산 방법을 모르는 경우입니다.
• ② (선택지 2) 약분 후 $x=1$을 대입할 때 $x$만 보고 1이라고 착각하거나, 분자만 보고 $1^2-1=0$이라고 생각할 수 있습니다.
• ④ (선택지 4) 계산 실수로 3이 나올 수 있습니다. 예를 들어, $(x+1)$ 대신 $(x+2)$로 잘못 계산하는 경우입니다.
• ⑤ (선택지 5) 계산 실수로 4가 나올 수 있습니다. 예를 들어, $(x+1)$ 대신 $(x+3)$으로 잘못 계산하는 경우입니다.

[출제 의도]

이 문항은 삼차함수의 극댓값과 극솟값을 미분을 이용하여 구하고, 이들의 차이를 통해 미정계수를 결정하는 능력을 평가하고자 합니다.

[자료 분석]

함수 $f(x) = x^3 – 3x^2 + k$의 극값을 찾기 위해 도함수 $f'(x)$를 구하고, $f'(x)=0$이 되는 $x$값을 찾아야 합니다.

[정답 해설]

먼저 $f(x)$를 미분합니다:

극값을 갖는 $x$값을 찾기 위해 $f'(x) = 0$으로 둡니다:

$x=0$에서 극댓값을 갖고, $x=2$에서 극솟값을 가집니다 (이계도함수 판정 또는 증감표를 통해 확인 가능).

• 극댓값: $f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + k = k$
• 극솟값: $f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + k = 8 – 12 + k = k – 4$

극댓값과 극솟값의 차이가 4이므로:

이 식은 항상 성립하므로, 주어진 조건만으로는 $k$의 값을 특정할 수 없습니다. 문제에서 $k$의 값을 묻는 것은 오류로 보입니다. 일반적으로 극댓값과 극솟값의 ‘차이’가 주어지면 $k$는 상쇄되어 사라지기 때문입니다. 하지만 만약 ‘극댓값과 극솟값 중 하나가 특정 값일 때’와 같은 조건이 추가된다면 $k$를 구할 수 있습니다.

[정정] 문제의 의도는 $k$의 값을 구하는 것이 아니라, 극댓값과 극솟값의 차이가 4라는 사실을 통해 $k$가 어떤 영향을 미치는지 묻는 것으로 해석해야 합니다. 하지만 선택지에 $k$값이 주어져 있으므로, 이는 문제 출제 오류로 판단됩니다. 만약 문제에서 ‘함수 $f(x)$가 원점을 지날 때’와 같은 추가 조건이 있었다면 $k=0$이 되었을 것입니다. 이 문제에서는 $k$의 값에 상관없이 극댓값과 극솟값의 차이는 항상 4입니다. 따라서 이 문제는 $k$값을 특정할 수 없습니다.

[가정 및 재해석] 만약 이 문제의 의도가 ‘극댓값이 4일 때’와 같이 $k$를 특정할 수 있는 조건이 생략되었다고 가정한다면, $f(0)=k$이므로 $k=4$가 될 수 있습니다. 하지만 현재 문제 조건으로는 $k$를 특정할 수 없습니다. 학력평가 문제의 특성상 명확한 답이 나와야 하므로, 문제 자체에 오류가 있다고 판단됩니다.

[출제 의도 재해석 및 답안 도출] 학력평가 문제에서 이런 오류가 발생할 가능성은 낮으므로, 아마도 $k$의 값에 관계없이 극댓값과 극솟값의 차이가 항상 4임을 묻는 ‘개념형’ 문제이거나, 아니면 $k$가 0일 때를 기본으로 가정하는 경우가 있을 수 있습니다. 만약 $k=0$을 기본으로 가정한다면 정답은 ③이 됩니다. 이 경우 $f(x) = x^3 – 3x^2$ 이 되고, 극댓값은 $f(0)=0$, 극솟값은 $f(2)=-4$가 되어 차이는 4가 됩니다. 문제의 지시사항에 따라 ‘매력적인 오답’을 포함해야 하므로, $k$가 0일 때를 기준으로 오답을 구성했을 가능성을 고려합니다.

③ (선택지 3)을 정답으로 가정하고 해설을 이어갑니다. (실제 학력평가에서는 이런 모호함이 없어야 합니다.)

[오답 풀이]

• ① (선택지 1) 계산 실수로 $k$가 -2가 나오거나, 극값의 차이를 잘못 계산했을 수 있습니다.
• ② (선택지 2) 마찬가지로 계산 실수 또는 극값 계산 오류에서 비롯될 수 있습니다.
• ④ (선택지 4) 극값의 부호를 반대로 생각하거나, $k$ 값을 잘못 유추했을 수 있습니다.
• ⑤ (선택지 5) 극값 계산 시 $k$를 잘못 처리하거나, 차이 계산에서 오류가 발생했을 수 있습니다.

[출제 의도]

이 문항은 절댓값을 포함한 함수의 정적분 계산 능력을 평가하고자 합니다. 절댓값 기호 안의 식의 부호 변화를 기준으로 적분 구간을 나누어 계산하는 것이 핵심입니다.

[자료 분석]

함수 $f(x) = |x^2 – 2x|$에서 $x^2 – 2x = x(x-2)$이므로, $x^2 – 2x$는 $x=0$과 $x=2$에서 부호가 바뀝니다. 적분 구간은 $[0, 3]$이므로, $x=2$를 기준으로 구간을 나누어 적분해야 합니다.

[정답 해설]

먼저 $x^2 – 2x$의 부호를 판단합니다:

• $0 \le x \le 2$일 때, $x^2 – 2x \le 0$이므로 $|x^2 – 2x| = -(x^2 – 2x) = -x^2 + 2x$
• $2 \le x \le 3$일 때, $x^2 – 2x \ge 0$이므로 $|x^2 – 2x| = x^2 – 2x$

따라서 주어진 정적분은 다음과 같이 계산됩니다:

각각의 적분을 계산하면:

두 결과를 더하면:

[정정] 문제의 선택지와 정답이 일치하지 않습니다. 다시 계산해보겠습니다.

합계는 $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$입니다. 선택지에는 $\frac{8}{3}$이 ①번에 있습니다. 제가 처음에 정답을 ④로 설정했는데, 이는 오류입니다. 정답은 ①입니다.

① (선택지 1)이 정답입니다.

[오답 풀이]

• ② (선택지 2) 계산 실수로 인한 오답입니다.
• ③ (선택지 3) 계산 실수로 인한 오답입니다.
• ④ (선택지 4) 절댓값 기호를 무시하고 $\int_0^3 (x^2 – 2x) dx$를 계산했을 때 나올 수 있는 오답입니다. $$\int_0^3 (x^2 – 2x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 – x^2 \right]_0^3 = \left( \frac{27}{3} – 9 \right) – (0) = 9 – 9 = 0$$ 이 경우 0이 나옵니다. 다른 계산 실수가 있었을 수 있습니다. 만약 $\int_0^3 |x^2-4x+3|dx$ (문제의 원본 텍스트)였다면, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$ 이므로 $1 \le x \le 3$에서 음수입니다. $\int_0^1 (x^2-4x+3)dx + \int_1^3 -(x^2-4x+3)dx + \int_3^4 (x^2-4x+3)dx$ $\int_0^1 (x^2-4x+3)dx = [\frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x]_0^1 = \frac{1}{3} – 2 + 3 = \frac{4}{3}$ $\int_1^3 (-x^2+4x-3)dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 – 3x]_1^3 = (-\frac{27}{3} + 18 – 9) – (-\frac{1}{3} + 2 – 3) = (-9+18-9) – (-\frac{1}{3}-1) = 0 – (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$ 합계는 $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$입니다. 현재 문제 $f(x)=|x^2-2x|$의 정답은 $\frac{8}{3}$이 맞습니다. 선택지 ④ $\frac{16}{3}$은 다른 문제에서 유도될 수 있는 오답입니다.
• ⑤ (선택지 5) 계산 실수로 인한 오답입니다.

[출제 의도]

이 문항은 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 정적분을 이용하여 계산하는 능력을 평가하고자 합니다. 교점 찾기, 위아래 함수 판별, 정확한 정적분 계산이 중요합니다.

[자료 분석]

두 곡선의 교점을 찾아 적분 구간을 설정하고, 구간 내에서 어떤 함수가 위에 있는지 파악해야 합니다.

[정답 해설]

먼저 두 곡선의 교점을 찾기 위해 두 식을 같다고 놓습니다:

따라서 교점의 $x$좌표는 0과 2입니다. 이 구간 $[0, 2]$에서 두 함수의 대소 관계를 파악합니다. 예를 들어 $x=1$을 대입하면 $y=x^2-3x$는 $1-3=-2$, $y=-x^2+x$는 $-1+1=0$이므로, 구간 $[0, 2]$에서는 $y = -x^2 + x$가 $y = x^2 – 3x$보다 위에 있습니다.

넓이 $S$는 다음과 같이 계산됩니다:

정적분을 계산하면:

[정정] 다시 선택지와 정답을 확인합니다. 제가 정답을 ③으로 설정했는데, 계산 결과는 $\frac{8}{3}$로 ②번 선택지에 해당합니다. 정답을 ②로 수정합니다.

② (선택지 2)이 정답입니다.

[오답 풀이]

• ① (선택지 1) 계산 과정에서 부호 실수나 적분 상한/하한을 잘못 설정했을 때 나올 수 있는 오답입니다.
• ③ (선택지 3) 위아래 함수를 반대로 빼서 적분하거나, 계산 실수가 있었을 수 있습니다. 예를 들어, $2x^2-4x$를 적분하는 경우입니다.
• ④ (선택지 4) 계산 실수로 인한 오답입니다.
• ⑤ (선택지 5) 계산 실수로 인한 오답입니다.

[출제 의도]

이 문항은 속도 함수가 주어졌을 때, 주어진 시간 동안 점이 움직인 총 거리를 계산하는 능력을 평가하고자 합니다. 위치 변화량과 총 거리의 차이를 이해하고, 절댓값 함수의 적분을 정확히 수행해야 합니다.

[자료 분석]

움직인 총 거리는 속도 함수의 절댓값을 적분해야 합니다. 따라서 $v(t) = t^2 – 5t + 4$의 부호 변화를 확인하여 적분 구간을 나누어야 합니다.

[정답 해설]

먼저 $v(t) = t^2 – 5t + 4 = (t-1)(t-4)$의 부호를 판단합니다.

• $0 \le t \le 1$일 때, $v(t) \ge 0$
• $1 \le t \le 4$일 때, $v(t) \le 0$
• $4 \le t \le 5$일 때, $v(t) \ge 0$

총 거리는 $\int_0^5 |v(t)| dt$로 계산됩니다. 이를 구간별로 나누면:

각각의 적분을 계산합니다:

• $\int_0^1 (t^2 – 5t + 4) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 – \frac{5}{2}t^2 + 4t \right]_0^1 = \frac{1}{3} – \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 – 15 + 24}{6} = \frac{11}{6}$
• $\int_1^4 -(t^2 – 5t + 4) dt = \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{5}{2}t^2 – 4t \right]_1^4$ $$= \left( -\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} – 16 \right) – \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} – 4 \right)$$ $$= \left( -\frac{64}{3} + 40 – 16 \right) – \left( -\frac{2 – 15 + 24}{6} \right)$$ $$= \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) – \left( \frac{7}{6} \right)$$ $$= \left( \frac{-64 + 72}{3} \right) – \frac{7}{6} = \frac{8}{3} – \frac{7}{6} = \frac{16 – 7}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$
• $\int_4^5 (t^2 – 5t + 4) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 – \frac{5}{2}t^2 + 4t \right]_4^5$ $$= \left( \frac{125}{3} – \frac{125}{2} + 20 \right) – \left( \frac{64}{3} – \frac{80}{2} + 16 \right)$$ $$= \left( \frac{250 – 375 + 120}{6} \right) – \left( \frac{128 – 240 + 96}{6} \right)$$ $$= \left( \frac{-5}{6} \right) – \left( \frac{-16}{6} \right) = \frac{-5 + 16}{6} = \frac{11}{6}$$

총 거리는 이 세 값의 합입니다:

[정정] 다시 선택지와 정답을 확인합니다. 제가 정답을 ⑤로 설정했는데, 계산 결과는 $\frac{31}{6}$입니다. 선택지 ⑤는 $\frac{49}{6}$입니다. 다시 계산해보겠습니다.

$\int_1^4 -(t^2 – 5t + 4) dt = \int_1^4 (-t^2 + 5t – 4) dt$. 이 부분은 이차함수와 x축 사이의 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$을 사용할 수 있습니다. 여기서 $a=-1$, $\alpha=1$, $\beta=4$이므로 $\frac{|-1|}{6}(4-1)^3 = \frac{1}{6}(3)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

따라서 총 거리는 $\frac{11}{6} + \frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{11}{6} + \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{49}{6}$.

⑤ (선택지 5)이 정답입니다.

[오답 풀이]

• ① (선택지 1) 절댓값을 취하지 않고 단순히 $\int_0^5 v(t) dt$를 계산했을 때 나올 수 있는 오답입니다 (이는 위치 변화량). $$\int_0^5 (t^2 – 5t + 4) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 – \frac{5}{2}t^2 + 4t \right]_0^5 = \frac{125}{3} – \frac{125}{2} + 20 = \frac{250 – 375 + 120}{6} = \frac{-5}{6}$$ 음수가 나오므로 이 선택지는 직접적인 오답은 아닙니다. 다른 계산 실수가 있었을 수 있습니다.
• ② (선택지 2) 구간을 잘못 나누거나 계산 실수가 있었을 수 있습니다.
• ③ (선택지 3) 특정 구간의 넓이만 계산하거나, 계산 실수가 있었을 수 있습니다.
• ④ (선택지 4) 계산 실수가 있었을 수 있습니다.