고1 수학, 혼자서는 절대 몰랐을 숨겨진 꿀팁 대방출

* 정답: ④

* 난이도: 중

* 자료 분석:
나머지 정리를 활용하여 $P(1)$과 $P(2)$의 값을 파악하고, $P(x)$를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 일차식으로 설정하여 미정계수를 구하는 문제입니다.

* 오답 풀이:

• ① $1$: $R(x)$를 $x+b$로 잘못 설정하거나, $P(1)=1$로 착각했을 경우.
• ② $3$: $P(1)=3$이라는 조건을 $R(x)$가 상수함수 $3$이라고 오해했을 경우.
• ③ $5$: $P(2)=5$이라는 조건을 $R(x)$가 상수함수 $5$라고 오해했을 경우.
• ⑤ $9$: $R(x)$를 $ax+b$로 제대로 설정했으나, 연립방정식 계산 실수가 있었을 경우.

* 출제 의도:
나머지 정리의 정확한 이해와 이를 활용하여 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 능력을 평가합니다. 특히, 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 한다는 원리를 이해하고 있는지 확인합니다.

* 정답 해설:
다항식 $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 $3$이므로 나머지 정리에 의해 $P(1) = 3$입니다.
다항식 $P(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $5$이므로 나머지 정리에 의해 $P(2) = 5$입니다.
다항식 $P(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라고 하면, 나누는 식이 이차식이므로 나머지는 일차식 또는 상수항이 됩니다. 따라서 $R(x) = ax+b$로 놓을 수 있습니다.
$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax+b$
위 식에 $x=1$을 대입하면 $P(1) = a+b$
$P(1)=3$이므로 $a+b=3$ (ㄱ)
위 식에 $x=2$를 대입하면 $P(2) = 2a+b$
$P(2)=5$이므로 $2a+b=5$ (ㄴ)
(ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 $(2a+b) – (a+b) = 5-3$, 즉 $a = 2$
$a=2$를 (ㄱ)에 대입하면 $2+b=3$, 따라서 $b=1$
그러므로 $R(x) = 2x+1$
우리가 구하고자 하는 값은 $R(3)$이므로 $R(3) = 2(3)+1 = 6+1 = 7$.

* 정답: ①

* 난이도: 중

* 자료 분석:
두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심은 두 점의 중점이고, 반지름은 두 점 사이 거리의 절반임을 이용하여 원의 방정식을 구하는 문제입니다.

* 오답 풀이:

• ② $-8$: 중심 좌표나 반지름 계산에서 실수가 있었을 경우.
• ③ $-6$: 부호 실수나 전개 과정에서 실수가 있었을 경우.
• ④ $-4$: $A, B, C$ 값 중 일부만 계산했거나, 계산 실수가 있었을 경우.
• ⑤ $-2$: 중심 좌표를 잘못 구했거나, 반지름을 잘못 계산했을 경우.

* 출제 의도:
원의 정의를 이해하고, 지름의 양 끝점이 주어졌을 때 원의 중심과 반지름을 찾아 원의 방정식을 표준형과 일반형으로 변환하는 능력을 평가합니다.

* 정답 해설:
두 점 $A(1, 4)$와 $B(5, 0)$을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심은 두 점의 중점입니다.
중심의 좌표 $(h, k) = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$
원의 반지름 $r$은 두 점 $A$와 $B$ 사이 거리의 절반입니다.
두 점 사이의 거리 $d = \sqrt{(5-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
따라서 반지름 $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
원의 방정식의 표준형은 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 이므로
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = (2\sqrt{2})^2$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 8$
이 식을 전개하면 $x^2 – 6x + 9 + y^2 – 4y + 4 = 8$
$x^2 + y^2 – 6x – 4y + 13 – 8 = 0$
$x^2 + y^2 – 6x – 4y + 5 = 0$
이것이 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ 형태이므로,
$A = -6$, $B = -4$, $C = 5$
따라서 $A+B+C = -6 + (-4) + 5 = -10 + 5 = -5$.

* 정답: ③

* 난이도: 중

* 자료 분석:
조건 $p$와 $q$의 진리집합을 구하고, 명제 $p \to q$가 거짓이 되는 경우는 $p$는 참이지만 $q$는 거짓인 경우임을 이해하여 해당 원소를 찾는 문제입니다.

* 오답 풀이:

• ① $\{2, 4, 6, 8\}$: 조건 $p$의 진리집합을 나타낸 것.
• ② $\{3, 6\}$: 조건 $q$의 진리집합을 나타낸 것.
• ④ $\{1, 5, 7\}$: $p$도 아니고 $q$도 아닌 원소들을 나타낸 것.
• ⑤ $\{6\}$: $p$이면서 $q$인 원소를 나타낸 것.

* 출제 의도:
명제 $p \to q$의 참/거짓 판별 기준을 이해하고, 특히 거짓이 되는 경우(반례)를 진리집합의 관계를 통해 정확히 찾아낼 수 있는 능력을 평가합니다.

* 정답 해설:
전체집합 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
조건 $p: x \text{는 짝수이다}$의 진리집합 $P = \{x \mid x \text{는 } U \text{의 원소이고 짝수}\} = \{2, 4, 6, 8\}$
조건 $q: x \text{는 3의 배수이다}$의 진리집합 $Q = \{x \mid x \text{는 } U \text{의 원소이고 3의 배수}\} = \{3, 6\}$
명제 $p \to q$가 거짓임을 보이는 원소는 $P$에는 속하지만 $Q$에는 속하지 않는 원소, 즉 $P \cap Q^c = P – Q$의 원소입니다.
$P – Q = \{2, 4, 6, 8\} – \{3, 6\} = \{2, 4, 8\}$
따라서 명제 $p \to q$가 거짓임을 보이는 원소들의 집합은 $\{2, 4, 8\}$입니다.

* 정답: ④

* 난이도: 하

* 자료 분석:
일차함수의 역함수를 구하는 방법과 역함수의 함숫값을 계산하는 방법을 이해하고 적용하는 문제입니다.

* 오답 풀이:

• ① $1$: 역함수 계산이 틀렸거나, $f(5)$를 계산했을 경우.
• ② $2$: 역함수 계산 실수.
• ③ $3$: 역함수 계산 실수.
• ⑤ $5$: $f(x)$에 $x=5$를 대입하여 $f(5)=7$을 얻었으나, 문제의 의도를 잘못 파악했을 경우.

* 출제 의도:
함수의 역함수 개념을 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 직접 구하거나 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 계산할 수 있는 능력을 평가합니다.

* 정답 해설:
함수 $y = f(x) = 2x – 3$의 역함수를 구하기 위해 $x$와 $y$를 바꿉니다.
$x = 2y – 3$
이제 $y$에 대해 정리합니다.
$x + 3 = 2y$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
따라서 역함수 $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ 입니다.
$f^{-1}(5)$의 값을 구하기 위해 $x=5$를 대입합니다.
$f^{-1}(5) = \frac{1}{2}(5) + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

다른 방법으로는 $f^{-1}(5) = k$라고 하면 $f(k) = 5$입니다.
$2k – 3 = 5$
$2k = 8$
$k = 4$
따라서 $f^{-1}(5) = 4$입니다.

* 정답: ③

* 난이도: 하

* 자료 분석:
서로 다른 $n$개에서 서로 다른 $r$개를 택하여 나열하는 순열의 개념을 적용하여 경우의 수를 계산하는 문제입니다.

* 오답 풀이:

• ① $10$: 조합 $_5C_3$을 계산했을 경우. (순서 고려 안 함)
• ② $20$: 잘못된 계산이나, 일부 경우를 누락했을 경우.
• ④ $120$: $_5P_5$ (5!)를 계산했을 경우.
• ⑤ $125$: 중복 순열 $5^3$을 계산했을 경우.

* 출제 의도:
순열의 개념을 이해하고, 주어진 조건에 맞게 순열의 수를 정확하게 계산할 수 있는 능력을 평가합니다. 특히, 순서의 중요성을 파악하여 조합과 혼동하지 않는지 확인합니다.

* 정답 해설:
서로 다른 5개의 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$ 중에서 서로 다른 3개의 숫자를 택하여 세 자리 자연수를 만드는 것은 순서가 중요하므로 순열의 문제입니다.
이는 서로 다른 5개에서 3개를 택하여 나열하는 순열의 수와 같습니다.
$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$
따라서 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 60개입니다.